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<!DOCTYPE html>

<title>Logarithmische Normalverteilung</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Logarithmische Normalverteilung</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Die logarithmische Normalverteilung (kurz Log-Normalverteilung) ist eine kontinuierliche <a href="Wahrscheinlichkeitsverteilung" class="mw-redirect" title="Wahrscheinlichkeitsverteilung">Wahrscheinlichkeitsverteilung</a> für eine Variable, die nur positive Werte annehmen kann. Sie beschreibt die Verteilung einer <a href="Zufallsvariable" title="Zufallsvariable">Zufallsvariablen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy">, wenn die mit dem Logarithmus transformierte Zufallsvariable <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y=\ln(X)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y=\ln(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5bba96c80f1e6157e3e90ac2cf0b39ec7ef20be0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.6ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Y=\ln(X)}" loading="lazy"> <a href="Normalverteilung" title="Normalverteilung">normalverteilt</a> ist.

Sie bewährt sich als Modell für viele Messgrößen in Naturwissenschaften, Medizin und Technik, beispielsweise für Energien, Konzentrationen, Längen und Mengenangaben.

In Analogie zu einer normalverteilten Zufallsvariablen, die nach dem <a href="Zentraler_Grenzwertsatz" title="Zentraler Grenzwertsatz">zentralen Grenzwertsatz</a> als <a href="Summe" title="Summe">Summe</a> vieler verschiedener Zufallsvariablen aufgefasst werden kann, entsteht eine logarithmisch normalverteilte Zufallsvariable durch das <a href="Produkt_(Mathematik)" title="Produkt (Mathematik)">Produkt</a> vieler positiver Zufallsvariablen. Somit ist die Log-Normalverteilung die einfachste Verteilungsart für multiplikative <a href="Zufallsprozess" class="mw-redirect" title="Zufallsprozess">Zufallsprozesse</a>. Da multiplikative Gesetze in den Naturwissenschaften, der Ökonomie und der Technik eine größere Rolle spielen als additive, ist die Log-Normalverteilung in vielen Anwendungen diejenige, die der Theorie am besten entspricht – der zweite Grund, weshalb sie vielfach anstelle der gewöhnlichen, additiven Normalverteilung verwendet werden sollte.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Erzeugung">Erzeugung</h3></div>

Wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy"> eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist, dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X=\mathrm {e} ^{\mu +\sigma Z}=\mathrm {e} ^{\mu }(\mathrm {e} ^{Z})^{\sigma }}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X=\mathrm {e} ^{\mu +\sigma Z}=\mathrm {e} ^{\mu }(\mathrm {e} ^{Z})^{\sigma }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/451f9e3038026c476d76bc4d245dc97cd20db526.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.53ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle X=\mathrm {e} ^{\mu +\sigma Z}=\mathrm {e} ^{\mu }(\mathrm {e} ^{Z})^{\sigma }}" loading="lazy"> log-normalverteilt mit den Parametern <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma >0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/762ecd0f0905dd0d4d7a07f80fa8bfb324b9b021.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \sigma >0}" loading="lazy">, geschrieben als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {LN}}(\mu ,\sigma ^{2})}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {LN}}(\mu ,\sigma ^{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e648bfecaf296cc5846abc14091f7b872b989cb5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.508ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {LN}}(\mu ,\sigma ^{2})}" loading="lazy">. Alternativ können als Parameter die Größen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu ^{*}=\mathrm {e} ^{\mu }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu ^{*}=\mathrm {e} ^{\mu }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a271ade27d244a967abb1c26665b5f03826d4da9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.81ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mu ^{*}=\mathrm {e} ^{\mu }}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma ^{*}=\mathrm {e} ^{\sigma }>1}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ^{*}=\mathrm {e} ^{\sigma }>1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dbbffd0c20cd428ce2037ba2e6c437feaf81c84b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.949ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \sigma ^{*}=\mathrm {e} ^{\sigma }>1}" loading="lazy"> verwendet werden. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu ^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu ^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/670d0d4db6668c13d249c92fb99c34d2a9f236f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.456ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mu ^{*}}" loading="lazy"> ist ein Skalen-Parameter. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy"> oder ebenso <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma ^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65f4dfaabbd9ff3a498984dd4fdc62af5ed24ecc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.385ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \sigma ^{*}}" loading="lazy"> bestimmt die Form der Verteilung.

Wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> log-normalverteilt ist, dann ist auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y=aX}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y=aX}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e35296fd55e2bddb312bc68498013188df2d813f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.082ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Y=aX}" loading="lazy"> log-normalverteilt, und zwar mit den Parametern <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln(a)+\mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln(a)+\mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a8f89171895b81b51b94daaff155b2970238840.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.221ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ln(a)+\mu }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy"> respektive <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\mu ^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\mu ^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ab8f0a72da7229d8f3c4e75b5d0b67a28fec438b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.686ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a\mu ^{*}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma ^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65f4dfaabbd9ff3a498984dd4fdc62af5ed24ecc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.385ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \sigma ^{*}}" loading="lazy">. Ebenso ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X^{b}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X^{b}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0796088b8a57e4f638a0d4c624eae010d43e879.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.934ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle X^{b}}" loading="lazy"> log-normalverteilt, mit den Parametern <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b3446a114d9b76af19f81b8eac5cf62a7c59528.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.399ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle b\mu }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65aced1f490067d28a2f6dea9ef99df3e9fac596.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.327ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b\sigma }" loading="lazy"> respektive <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\mu ^{*})^{b}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mu ^{*})^{b}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ab776b7fe7d44a667cd9a0428e4f6b378ecea6ec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.203ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (\mu ^{*})^{b}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\sigma ^{*})^{b}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\sigma ^{*})^{b}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/502b6ea2d7f15f6d4916c38cb684196f1f6e854b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.132ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (\sigma ^{*})^{b}}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Dichtefunktion">Dichtefunktion</h3></div>

Eine stetige, positive <a href="Zufallsvariable" title="Zufallsvariable">Zufallsvariable</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> unterliegt einer logarithmischen Normalverteilung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {LN}}(\mu ,\sigma ^{2})}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {LN}}(\mu ,\sigma ^{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e648bfecaf296cc5846abc14091f7b872b989cb5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.508ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {LN}}(\mu ,\sigma ^{2})}" loading="lazy"> mit den Parametern <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a9a48f0e84328dc53dec2ad301bb321c00dcf422.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.92ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma \in \mathbb {R} ,\sigma >0}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma \in \mathbb {R} ,\sigma >0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eca08c2336a6973ce63998eb698f36725df62f74.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.473ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \sigma \in \mathbb {R} ,\sigma >0}" loading="lazy">, wenn die transformierte Zufallsvariable <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y=\ln(X)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y=\ln(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5bba96c80f1e6157e3e90ac2cf0b39ec7ef20be0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.6ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Y=\ln(X)}" loading="lazy"> einer <a href="Normalverteilung" title="Normalverteilung">Normalverteilung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/863304aaa42a945f2f07d79facc3d2eebc845ce7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.062ex; width:8.966ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}" loading="lazy"> folgt. Ihre Dichtefunktion ist dann

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma x}}\,\exp {\Big (}-{\frac {(\ln(x)-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}{\Big )}={\frac {1}{x\sigma }}\varphi \left({\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma }}\right),\quad x>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae54e58d768166bd50e77eaf84a3e593e3f93339.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:70.205ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma x}}\,\exp {\Big (}-{\frac {(\ln(x)-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}{\Big )}={\frac {1}{x\sigma }}\varphi \left({\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma }}\right),\quad x>0}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Verteilungsfunktion">Verteilungsfunktion</h3></div>

Damit hat die Log-Normalverteilung für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\geq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\geq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a2608e2b392b079f5b763f27bf52883dbee3b64a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.591ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x\geq 0}" loading="lazy"> die <a href="Verteilungsfunktion" title="Verteilungsfunktion">Verteilungsfunktion</a>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t=\Phi \left({\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma }}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f7fa8d310be55f610b3ab229b60ab698ad90a5bf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:37.19ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t=\Phi \left({\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma }}\right)}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aed80a2011a3912b028ba32a52dfa57165455f24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi }" loading="lazy"> die Verteilungsfunktion der <a href="Standardnormalverteilung" class="mw-redirect" title="Standardnormalverteilung">Standardnormalverteilung</a> bezeichnet.

Die Verteilungsfunktion der logarithmischen Normalverteilung erscheint auf logarithmisch geteiltem <a href="Wahrscheinlichkeitspapier" class="mw-redirect" title="Wahrscheinlichkeitspapier">Wahrscheinlichkeitspapier</a> als Gerade.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mehrdimensionale_log-Normalverteilung">Mehrdimensionale log-Normalverteilung</h3></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {Z}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }})}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {Z}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9af1b0fb2d32b2313103ee8954da8caaab206813.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.051ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {Z}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }})}" loading="lazy">

ein <a href="Multivariate_Normalverteilung" class="mw-redirect" title="Multivariate Normalverteilung">mehrdimensional (oder multivariat) normalverteilter</a> <a href="Zufallsvektor" title="Zufallsvektor">Zufallsvektor</a>.

Dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {X}}=\exp({\boldsymbol {Z}})}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {X}}=\exp({\boldsymbol {Z}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4f11f01c586504eda65039ca433849cc0d785e7d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.546ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {X}}=\exp({\boldsymbol {Z}})}" loading="lazy"> (d. h. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{j}=\exp(Z_{j})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{j}=\exp(Z_{j})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5e9b777e0bd8327bf7e6afab6748db3f364ef311.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.791ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle X_{j}=\exp(Z_{j})}" loading="lazy">) multivariat log-normalverteilt.

Die mehrdimensionale Log-Normalverteilung ist viel weniger bedeutsam als die eindimensionale. Deshalb bezieht sich der nachfolgende Text fast ausschließlich auf den eindimensionalen Fall.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Quantile">Quantile</h3></div>

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{(p)}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{(p)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/194f60b102110ecaf20b0ff24149ea777284ff92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:3.668ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle u_{(p)}}" loading="lazy"> das p-<a href="Quantil_(Wahrscheinlichkeitstheorie)" title="Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)">Quantil</a> einer <a href="Standardnormalverteilung" class="mw-redirect" title="Standardnormalverteilung">Standardnormalverteilung</a> (d. h. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi (u_{(p)})=p}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi (u_{(p)})=p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eaad45d0bb28e7e2b5addf622fe4bae0274e0ce5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:11.423ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi (u_{(p)})=p}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aed80a2011a3912b028ba32a52dfa57165455f24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi }" loading="lazy"> die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung sei), so ist das p-Quantil der Log-Normalverteilung gegeben durch

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{(p)}=\mathrm {e} ^{\mu +u_{(p)}\cdot \sigma }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db7706939b608d0ccd280480d7e0311f90f23740.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:14.513ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle x_{(p)}=\mathrm {e} ^{\mu +u_{(p)}\cdot \sigma }}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Median,_multiplikativer_Erwartungswert">Median, multiplikativer Erwartungswert</h3></div>

Der <a href="Median_(Stochastik)" title="Median (Stochastik)">Median</a> der logarithmischen Normalverteilung beträgt demnach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu ^{*}=\mathrm {e} ^{\mu }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu ^{*}=\mathrm {e} ^{\mu }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a271ade27d244a967abb1c26665b5f03826d4da9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.81ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mu ^{*}=\mathrm {e} ^{\mu }}" loading="lazy">. Er wird auch multiplikativer oder geometrischer Erwartungswert genannt (vgl. <a href="Geometrisches_Mittel" title="Geometrisches Mittel">geometrisches Mittel</a>). Er ist ein Skalen-Parameter, da <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu ^{*}(aX)=a\mu ^{*}(X)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu ^{*}(aX)=a\mu ^{*}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5178177a9d39c7dc25b2f5a7e7ce5142d868cc5f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.049ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mu ^{*}(aX)=a\mu ^{*}(X)}" loading="lazy"> gilt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Multiplikative_Standardabweichung">Multiplikative Standardabweichung</h3></div>

In Analogie zum multiplikativen Erwartungswert ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma ^{*}=\mathrm {e} ^{\sigma }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ^{*}=\mathrm {e} ^{\sigma }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ab164578a10ad27d569c01d135ccb68fd6aefd5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.688ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \sigma ^{*}=\mathrm {e} ^{\sigma }}" loading="lazy"> die multiplikative oder geometrische Standardabweichung. Sie bestimmt (ebenso wie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy"> selbst) die Form der Verteilung. Es gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma ^{*}>1}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ^{*}>1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4ef202403739e79ceaa3bc1a4386f160e2ca8ed4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.646ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \sigma ^{*}>1}" loading="lazy">.

Da das multiplikative oder geometrische Mittel einer Stichprobe von lognormalen Beobachtungen (siehe „Parameterschätzung“ unten) selbst log-normalverteilt ist, kann man seine Standardabweichung angeben, sie beträgt

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\sigma ^{*})^{1/{\sqrt {n}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/28f2e8e88a0a8b7452553f4be110302c6260d702.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.425ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle (\sigma ^{*})^{1/{\sqrt {n}}}}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Erwartungswert">Erwartungswert</h3></div>

Der <a href="Erwartungswert" title="Erwartungswert">Erwartungswert</a> der logarithmischen Normalverteilung beträgt

<msup>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mathrm {e} ^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1ee3059e4cbe15b4483c0a00f7120d79af2271f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.406ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mathrm {e} ^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Modus">Modus</h3></div>

Der <a href="Modus_(Statistik)" title="Modus (Statistik)">Modus</a>, also der häufigste Wert der Verteilung bzw. der Wert, für den die Dichtefunktion ihr Maximum annimmt, beträgt für die logarithmische Normalverteilung

<mi>Modus</mi>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Modus} (X)=x_{D}=\mathrm {e} ^{\mu -\sigma ^{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b202d2e742fcba6e0dacd93f1e316c112d345f96.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.01ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Modus} (X)=x_{D}=\mathrm {e} ^{\mu -\sigma ^{2}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Varianz,_Standardabweichung,_Variationskoeffizient">Varianz, Standardabweichung, Variationskoeffizient</h3></div>

Die <a href="Varianz_(Stochastik)" title="Varianz (Stochastik)">Varianz</a> ergibt sich zu

<msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\mathrm {e} ^{2\mu +\sigma ^{2}}(\mathrm {e} ^{\sigma ^{2}}-1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4f6e3b7d55818126736a3b57d7d3f4927ddb6331.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.683ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\mathrm {e} ^{2\mu +\sigma ^{2}}(\mathrm {e} ^{\sigma ^{2}}-1)}" loading="lazy">.</dd></dl>

Für die <a href="Standardabweichung_(Wahrscheinlichkeitstheorie)" class="mw-redirect" title="Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)">Standardabweichung</a> ergibt sich

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

<msup>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}={\sqrt {\mathrm {e} ^{2\mu +\sigma ^{2}}(\mathrm {e} ^{\sigma ^{2}}-1)}}=\mathrm {e} ^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\sqrt {\mathrm {e} ^{\sigma ^{2}}-1}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5fc03a6e9dcc7e1992e70edd2d9effbbd10b79ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:50.407ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}={\sqrt {\mathrm {e} ^{2\mu +\sigma ^{2}}(\mathrm {e} ^{\sigma ^{2}}-1)}}=\mathrm {e} ^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\sqrt {\mathrm {e} ^{\sigma ^{2}}-1}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Aus <a href="Erwartungswert" title="Erwartungswert">Erwartungswert</a> und <a href="Varianz_(Stochastik)" title="Varianz (Stochastik)">Varianz</a> erhält man unmittelbar den <a href="Variationskoeffizient" title="Variationskoeffizient">Variationskoeffizienten</a>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\mathrm {e} ^{\sigma ^{2}}-1}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a8f1f9780f52dcc200f87a06cb6ba840455d3efb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:21.877ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\mathrm {e} ^{\sigma ^{2}}-1}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Schiefe">Schiefe</h3></div>

Die <a href="Schiefe_(Statistik)" title="Schiefe (Statistik)">Schiefe</a> ergibt sich zu

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma _{m}=(\mathrm {e} ^{\sigma ^{2}}+2){\sqrt {\mathrm {e} ^{\sigma ^{2}}-1}}>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea9f4add3b543ae215bd6188cc64d9aaccfc3a2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:28.452ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \gamma _{m}=(\mathrm {e} ^{\sigma ^{2}}+2){\sqrt {\mathrm {e} ^{\sigma ^{2}}-1}}>0}" loading="lazy">,</dd></dl>

d. h., die Log-Normalverteilung ist rechtsschief.

Je größer die Differenz zwischen Erwartungswert und Median, desto ausgeprägter ist i. a. die <a href="Schiefe_(Statistik)" title="Schiefe (Statistik)">Schiefe</a> einer Verteilung. Hier unterscheiden sich diese Parameter um den Faktor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} ^{\sigma ^{2}/2}}">

<msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{\sigma ^{2}/2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/11662a1957e93ceae3e6e055db51e054918b12a8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.681ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{\sigma ^{2}/2}}" loading="lazy">. Die Wahrscheinlichkeit für extrem große Ausprägungen ist also bei der Log-Normalverteilung mit großem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy"> hoch.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Momente">Momente</h3></div>

Es existieren alle <a href="Moment_(Stochastik)" title="Moment (Stochastik)">Momente</a> und es gilt:

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} (X^{n})=\mathrm {e} ^{n\mu +{\frac {n^{2}\sigma ^{2}}{2}}},\quad n\in \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5f951c19fed9bd135d28df72d6d0374ddff958a3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.498ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} (X^{n})=\mathrm {e} ^{n\mu +{\frac {n^{2}\sigma ^{2}}{2}}},\quad n\in \mathbb {N} }" loading="lazy">.</dd></dl>

Die <a href="Momenterzeugende_Funktion" title="Momenterzeugende Funktion">momenterzeugende Funktion</a> und die <a href="Charakteristische_Funktion_(Stochastik)" title="Charakteristische Funktion (Stochastik)">charakteristische Funktion</a> existieren für die Log-Normalverteilung nicht in expliziter Form.

Die Lognormalverteilung ist ein Beispiel einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch die Angabe aller Momente nicht charakterisiert ist, da es andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit denselben Momenten gibt.<a href="#cite_note-1">[1]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Entropie">Entropie</h3></div>

Die <a href="Entropie_(Informationstheorie)" title="Entropie (Informationstheorie)">Entropie</a> der logarithmischen Normalverteilung (ausgedrückt in <a href="Nit_(Informationseinheit)" title="Nit (Informationseinheit)">nats</a>) beträgt

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu +{\frac {1}{2}}\ln \left(2\pi \mathrm {e} \sigma ^{2}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f65ff4fe5c9fefa89649b33b5a43ddb57b57ad2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:16.609ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \mu +{\frac {1}{2}}\ln \left(2\pi \mathrm {e} \sigma ^{2}\right)}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Multiplikation_von_unabhängigen,_log-normalverteilten_Zufallsvariablen">Multiplikation von unabhängigen, log-normalverteilten Zufallsvariablen</h3></div>

Multipliziert man zwei unabhängige, log-normalverteilte Zufallsvariable <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f70b2694445a5901b24338a2e7a7e58f02a72a32.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.979ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ad47c14b8a092f182512e76c96638aea6e3bea1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.979ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{2}}" loading="lazy">, so ergibt sich wieder eine log-normalverteilte Zufallsvariable mit den Parametern <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu =\mu _{1}+\mu _{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu =\mu _{1}+\mu _{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a94f01934f43180e55fd6c60c80c2a9f4cefb538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.252ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mu =\mu _{1}+\mu _{2}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma ^{2}=\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ^{2}=\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/90fda1167d13dce4bbff4038f2e01077489ef1a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.093ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \sigma ^{2}=\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}" loading="lazy">. Entsprechendes gilt für das Produkt von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> solchen Variablen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Grenzwertsatz">Grenzwertsatz</h3></div>

Das geometrische Mittel von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> unabhängigen, gleich verteilten, positiven Zufallsvariablen zeigt für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\to \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\to \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a0d55d9b32f6fa8fab6a84ea444a6b5a24bb45e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.333ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle n\to \infty }" loading="lazy"> genähert eine Log-Normalverteilung, die immer mehr einer gewöhnlichen Normalverteilung gleicht, da <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy"> abnimmt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Erwartungswert_und_Kovarianzmatrix_einer_mehrdimensionalen_Log-Normalverteilung">Erwartungswert und Kovarianzmatrix einer mehrdimensionalen Log-Normalverteilung</h3></div>

Der Erwartungswert-Vektor ist

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} [{\boldsymbol {X}}]_{i}=\mathrm {e} ^{\mu _{i}+{\frac {1}{2}}\Sigma _{ii}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0263ee85705ee5e3e31064a44840d3d69555eb15.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.924ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} [{\boldsymbol {X}}]_{i}=\mathrm {e} ^{\mu _{i}+{\frac {1}{2}}\Sigma _{ii}}}" loading="lazy"></dd></dl>

und die <a href="Kovarianzmatrix" title="Kovarianzmatrix">Kovarianzmatrix</a>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Var} [{\boldsymbol {X}}]_{ij}=\mathrm {e} ^{\mu _{i}+\mu _{j}+{\frac {1}{2}}(\Sigma _{ii}+\Sigma _{jj})}(\mathrm {e} ^{\Sigma _{ij}}-1).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/411a3a1c16e28a4b82aa00919bcb7392c7403a99.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:37.914ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Var} [{\boldsymbol {X}}]_{ij}=\mathrm {e} ^{\mu _{i}+\mu _{j}+{\frac {1}{2}}(\Sigma _{ii}+\Sigma _{jj})}(\mathrm {e} ^{\Sigma _{ij}}-1).}" loading="lazy"><a href="#cite_note-2">[2]</a></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beziehungen_zu_anderen_Verteilungen">Beziehungen zu anderen Verteilungen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beziehung_zur_Normalverteilung">Beziehung zur Normalverteilung</h3></div>

Der Logarithmus einer logarithmisch normalverteilten Zufallsvariablen ist normalverteilt. Genauer: Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/863304aaa42a945f2f07d79facc3d2eebc845ce7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.062ex; width:8.966ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}" loading="lazy">-verteilte reelle Zufallsvariable (d. h. normalverteilt mit Erwartungswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> und Varianz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma ^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53a5c55e536acf250c1d3e0f754be5692b843ef5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.385ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma ^{2}}" loading="lazy">), so ist die Zufallsvariable <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X=\mathrm {e} ^{Y}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X=\mathrm {e} ^{Y}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ded991b5553a9045e42b945bab775047b7a85cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.597ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle X=\mathrm {e} ^{Y}}" loading="lazy"> log-normalverteilt mit diesen Parametern <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy">.

Wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma \to 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma \to 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/efa7021065f7f7842d3e8b3e81d2ddc3cdee3a4f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.106ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \sigma \to 0}" loading="lazy"> und damit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma ^{*}\to 1}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ^{*}\to 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d77e6600a12be67380902d27b1b210ddf7d2e15.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.161ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \sigma ^{*}\to 1}" loading="lazy"> geht, geht die Form der Log-Normalverteilung gegen diejenige einer gewöhnlichen Normalverteilung.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Verteilung_mit_schweren_Rändern">Verteilung mit schweren Rändern</h3></div>

Die Verteilung gehört zu den <a href="Verteilung_mit_schweren_R%C3%A4ndern" title="Verteilung mit schweren Rändern">Verteilungen mit schweren Rändern</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Parameterschätzung_und_Statistik">Parameterschätzung und Statistik</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Parameterschätzung">Parameterschätzung</h3></div>

Die Schätzung der Parameter aus einer Stichprobe von Beobachtungen erfolgt über die Bestimmung von Mittelwert und (quadrierter) Standardabweichung der logarithmierten Werte:

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\mu }}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln(X_{i}),\quad {\hat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(\ln(X_{i})-{\hat {\mu }})^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/64b04a56b0569715287dbbf93459fb1ebf606844.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:49.726ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\mu }}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln(X_{i}),\quad {\hat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(\ln(X_{i})-{\hat {\mu }})^{2}}" loading="lazy">.

Die Schätzung der multiplikativen Parameter erfolgt durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\mu }}^{*}=\exp({\hat {\mu }})}">

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\mu }}^{*}=\exp({\hat {\mu }})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe0f9eb324ef3b8bf24d904a4fc802b46e4cded5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.318ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\mu }}^{*}=\exp({\hat {\mu }})}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\sigma }}^{*}=\exp({\hat {\sigma }})}">

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\sigma }}^{*}=\exp({\hat {\sigma }})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a44878701551d4f9b9004d5c98d0fe7467f4c31.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.174ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\sigma }}^{*}=\exp({\hat {\sigma }})}" loading="lazy">. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\mu }}^{*}}">

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\mu }}^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4e986895adfc96536ce0efa4cbc2e60eb71978d4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.456ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\mu }}^{*}}" loading="lazy"> ist das <a href="Geometrisches_Mittel" title="Geometrisches Mittel">geometrische Mittel</a>. Seine Verteilung ist log-normal mit multiplikativem Erwartungswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu ^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu ^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/670d0d4db6668c13d249c92fb99c34d2a9f236f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.456ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mu ^{*}}" loading="lazy"> und geschätzter multiplikativer Standardabweichung (besser als multiplikativer <a href="Standardfehler" title="Standardfehler">Standardfehler</a> bezeichnet) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {SEM} ^{*}=({\hat {\sigma }}^{*})^{1/{\sqrt {n}}}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {SEM} ^{*}=({\hat {\sigma }}^{*})^{1/{\sqrt {n}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3ec6fc53e7e3241d5a07d248c3609b6e66c2119e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.584ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {SEM} ^{*}=({\hat {\sigma }}^{*})^{1/{\sqrt {n}}}}" loading="lazy">.

Wenn keine Einzelwerte vorliegen, sondern nur der Mittelwert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bar {X}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bar {X}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/90b968141b314f4de17f5e63f18dcdc126352bac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\bar {X}}}" loading="lazy"> und die empirische Varianz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\mathrm {var} }}}">

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\mathrm {var} }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e9a94f9eb9e117846159bed8eb0f6bee95c35dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.302ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\mathrm {var} }}}" loading="lazy"> der nicht logarithmierten Werte bekannt sind, erhält man passende Parameterwerte über

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}=\ln \left({\frac {\hat {\mathrm {var} }}{{\bar {X}}^{2}}}+1\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e4ef4dce7045c8cf44c4ee8876aebef55f2c5533.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:18.983ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}=\ln \left({\frac {\hat {\mathrm {var} }}{{\bar {X}}^{2}}}+1\right)}" loading="lazy"></dd>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\mu }}=\ln({\bar {X}})-{\frac {{\hat {\sigma }}^{2}}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b7dfbc045827b61ff54bbd6cafd4b49b788140f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:16.289ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\mu }}=\ln({\bar {X}})-{\frac {{\hat {\sigma }}^{2}}{2}}}" loading="lazy"> oder direkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \quad {\hat {\mu }}=\ln \left({\bar {X}}^{2}\ {\sqrt[{}]{\frac {1}{{\hat {\mathrm {var} }}+{\bar {X}}^{2}}}}\right)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mroot>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad {\hat {\mu }}=\ln \left({\bar {X}}^{2}\ {\sqrt[{}]{\frac {1}{{\hat {\mathrm {var} }}+{\bar {X}}^{2}}}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8ee9865b53cdf19db90076ba64e736a7bf3cd405.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:28.78ex; height:8.176ex;" alt="{\displaystyle \quad {\hat {\mu }}=\ln \left({\bar {X}}^{2}\ {\sqrt[{}]{\frac {1}{{\hat {\mathrm {var} }}+{\bar {X}}^{2}}}}\right)}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Statistik">Statistik</h3></div>

Allgemein erfolgt die statistische Analyse von log-normalverteilten Größen am einfachsten und Erfolg versprechendsten so, dass die Größen logarithmiert werden und auf diese transformierten Werte die Methoden verwendet werden, die auf der gewöhnlichen Normalverteilung beruhen. Im Bedarfsfall werden dann die Ergebnisse, beispielsweise Vertrauens- oder Vorhersage-Intervalle, in die ursprüngliche Skala zurücktransformiert.

Grundlegendes Beispiel dafür ist die Berechnung von Streuungs-Intervallen. Da für eine gewöhnliche Normalverteilung in einem Bereich von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu \pm \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu \pm \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e204c02117a4f9075f3ee4fd83758cd771da083.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.572ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mu \pm \sigma }" loading="lazy"> etwa 2/3 (genauer 68 %) und in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu \pm 2\sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu \pm 2\sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/19f96e940697a1bf57f9201a6878729bc4e5f8a0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.734ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mu \pm 2\sigma }" loading="lazy"> 95 % der Wahrscheinlichkeit enthalten sind, gilt für die Log-Normalverteilung:

<dl><dd>Das Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ [\mu ^{*}/\sigma ^{*},\mu ^{*}\cdot \sigma ^{*}]\ }">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ [\mu ^{*}/\sigma ^{*},\mu ^{*}\cdot \sigma ^{*}]\ }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8cc1fb208900e6a381cbb185167dc66b6b28d2e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.012ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ [\mu ^{*}/\sigma ^{*},\mu ^{*}\cdot \sigma ^{*}]\ }" loading="lazy"> enthält 2/3</dd>

<dd>und das Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ [\mu ^{*}/(\sigma ^{*})^{2},\mu ^{*}\cdot (\sigma ^{*})^{2}]\ }">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ [\mu ^{*}/(\sigma ^{*})^{2},\mu ^{*}\cdot (\sigma ^{*})^{2}]\ }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3c5b421ac4ed4019ae4548968380ed81a10ac58e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.739ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ [\mu ^{*}/(\sigma ^{*})^{2},\mu ^{*}\cdot (\sigma ^{*})^{2}]\ }" loading="lazy"> enthält 95 %</dd></dl>

der Wahrscheinlichkeit (und also etwa diese Prozentzahl der Beobachtungen einer Stichprobe).

Die Intervalle können in Analogie zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu \pm \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu \pm \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e204c02117a4f9075f3ee4fd83758cd771da083.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.572ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mu \pm \sigma }" loading="lazy"> als

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu ^{*}\cdot /\sigma ^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c134514d7a0331197adb913bf581d7ab6b1ac74.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.682ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mu ^{*}\cdot /\sigma ^{*}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu ^{*}\cdot /(\sigma ^{*})^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu ^{*}\cdot /(\sigma ^{*})^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/09f3bcf60d73736b4be3c4c8aa2c12b3907a7055.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.546ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mu ^{*}\cdot /(\sigma ^{*})^{2}}" loading="lazy"> notiert werden.

In graphischen Darstellungen (untransformierter) Beobachtungen sollten deshalb solche asymmetrische Intervalle gezeigt werden.<a href="#cite_note-3">[3]</a><a href="#cite_note-4">[4]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungen">Anwendungen</h2></div>

Variation in vielen natürlichen Phänomenen lässt sich gut mit der

Log-Normalverteilung beschreiben. Dies kann erklärt werden durch die

Vorstellung, dass kleine prozentuale Abweichungen zusammenwirken,

die einzelnen Effekte sich also multiplizieren.

Bei Wachstumsprozessen ist dies besonders naheliegend.

Zudem bestehen die Formeln für die meisten grundlegenden Naturgesetze aus

Multiplikationen und Divisionen.

Auf der logarithmischen Skala ergeben sich dann Additionen und

Subtraktionen, und der entsprechende

<a href="Zentraler_Grenzwertsatz" title="Zentraler Grenzwertsatz">Zentrale Grenzwertsatz</a> führt zur

Normalverteilung – zurücktransformiert auf die ursprüngliche Skala also

zur Log-Normalverteilung.

Diese multiplikative Version des Grenzwertsatzes ist auch als

Gesetz von Gibrat bekannt. Robert Gibrat (1904–1980) formulierte es für

Unternehmen.<a href="#cite_note-5">[5]</a>

In einigen Wissenschaften ist es üblich, Messgrößen in Einheiten anzugeben,

die durch Logarithmieren einer gemessenen Konzentration (Chemie) oder

Energie (Physik, Technologie) erhalten werden.

So wird der Säuregrad einer wässerigen Lösung durch den <a href="PH-Wert" title="PH-Wert">pH-Wert</a> gemessen, der als negativer Logarithmus der Wasserstoffionen-Aktivität definiert ist.

Eine Lautstärke wird in <a href="Bel_(Einheit)" title="Bel (Einheit)">Dezibel (dB)</a> angegeben, das

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =10\log _{10}(E)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a1200bd7be6d4c1fb59f7d764f5881b8ba9747ba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.598ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle =10\log _{10}(E)}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy">

das Verhältnis des <a href="Schalldruckpegel" title="Schalldruckpegel">Schalldruckpegels</a> zu einem entsprechenden Referenzwert ist.

Analoges gilt für andere Energie-Pegel.

In der Finanzmathematik wird ebenfalls oft direkt mit logarithmierten Größen (Preisen, Kursen, Erträgen) gerechnet, siehe unten.

Für solche „bereits logarithmierte“ Größen ist dann die gewöhnliche <a href="Normalverteilung" title="Normalverteilung">Normalverteilung</a> oft eine gute Wahl; also wäre hier, wenn man die

ursprünglich gemessene Größe betrachten wollte, die Log-Normalverteilung geeignet.

Generell eignet sich die Log-Normalverteilung für Messgrößen, die nur positive Werte annehmen können,

also Konzentrationen, Massen und Gewichte, räumliche Größen, Energien usw.

Die folgende Liste zeigt mit Beispielen die breite Palette der Anwendungen der Log-Normalverteilung.

<ul><li>Mathematik (<a href="Analytische_Zahlentheorie" title="Analytische Zahlentheorie">Analytische Zahlentheorie</a>): <a href="Selbergs_zentraler_Grenzwertsatz" title="Selbergs zentraler Grenzwertsatz">Selbergs zentraler Grenzwertsatz</a></li></ul>

<ul><li><a href="Geologie" title="Geologie">Geologie</a>: Konzentration von Elementen<a href="#cite_note-6">[6]</a></li></ul>

<ul><li><a href="Kolloidchemie" title="Kolloidchemie">Kolloid-</a> und <a href="Polymerchemie" title="Polymerchemie">Polymerchemie</a>: <a href="Partikelgr%C3%B6%C3%9Fenverteilung" title="Partikelgrößenverteilung">Partikelgrößen-Verteilung</a> und <a href="Molmassenverteilung" title="Molmassenverteilung">Molmassen-Verteilung</a></li></ul>

<ul><li><a href="Hydrologie" title="Hydrologie">Hydrologie</a>: Die Log-Normalverteilung nützt bei der Analyse von Extremwerten wie – beispielsweise – monatliche oder jährliche Maxima der täglichen Regenmenge oder des Abflusses von Gewässern.<a href="#cite_note-7">[7]</a></li></ul>

<ul><li><a href="%C3%96kologie" title="Ökologie">Ökologie</a>: Die Häufigkeit von Arten zeigt oft eine Log-Normalverteilung.<a href="#cite_note-8">[8]</a></li></ul>

<ul><li><a href="Biologie" title="Biologie">Biologie</a> und <a href="Medizin" title="Medizin">Medizin</a>

<ul><li>Maße der Größe von Lebewesen (Länge, Hautfläche, Gewicht);<a href="#cite_note-9">[9]</a></li>

<li>Physiologische Größen wie der Blutdruck von Männern und Frauen.<a href="#cite_note-10">[10]</a> Als Konsequenz sollten <a href="Referenzbereich_(Medizin)" title="Referenzbereich (Medizin)">Referenzbereiche</a> für gesunde Werte auf der Grundlage einer Log-Normalverteilung geschätzt werden.</li>

<li><a href="Inkubationszeit" title="Inkubationszeit">Inkubationszeiten</a> von ansteckenden Krankheiten;<a href="#cite_note-11">[11]</a></li>

<li>In der Neurologie zeigt die Verteilung der Impulsrate von Nervenzellen oft eine log-normale Form, so im Cortex und Striatum<a href="#cite_note-12">[12]</a> und im Hippocampus und im entorhinalen Cortex<a href="#cite_note-13">[13]</a> sowie in anderen Hirnregionen.<a href="#cite_note-14">[14]</a><a href="#cite_note-15">[15]</a> Ebenso für weitere neurobiologische Größen.<a href="#cite_note-16">[16]</a></li>

<li>Sensitivität gegenüber <a href="Fungizid" title="Fungizid">Fungiziden</a>;<a href="#cite_note-17">[17]</a></li>

<li>Bakterien auf Pflanzenblättern:<a href="#cite_note-18">[18]</a></li>

<li><a href="Permeabilit%C3%A4t_(Materie)" title="Permeabilität (Materie)">Permeabilität</a> von Zellwänden und Mobilität von gelösten Stoffen:<a href="#cite_note-19">[19]</a></li></ul></li></ul>

<ul><li><a href="Sozialwissenschaften" title="Sozialwissenschaften">Sozialwissenschaften</a> und <a href="%C3%96konomie" class="mw-redirect" title="Ökonomie">Ökonomie</a>

<ul><li><a href="Einkommensverteilung" title="Einkommensverteilung">Einkommensverteilungen</a> zeigen, bis auf wenige Extremwerte, eine genäherte Log-Normalverteilung.<a href="#cite_note-20">[20]</a> (Für das obere Ende eignet sich die <a href="Pareto-Verteilung" title="Pareto-Verteilung">Pareto-Verteilung</a>.)<a href="#cite_note-21">[21]</a></li>

<li>In der <a href="Finanzmathematik" title="Finanzmathematik">Finanzmathematik</a> werden logarithmierte Erträge, Preise etc. als normalverteilt modelliert, was bedeutet, dass die ursprünglichen Größen log-normalverteilt sind. Das gilt auch für das berühmte <a href="Black-Scholes-Modell" title="Black-Scholes-Modell">Black-Scholes-Modell</a>,<a href="#cite_note-22">[22]</a> das der Preisbildung von <a href="Option_(Wirtschaft)" title="Option (Wirtschaft)">Optionen</a> und <a href="Derivat_(Wirtschaft)" title="Derivat (Wirtschaft)">Derivaten</a> zugrunde liegt. Allerdings mag bei genauer Analyse die <a href="L%C3%A9vy-Verteilung" title="Lévy-Verteilung">Lévy-Verteilung</a> für die extrem großen Werte besser passen,<a href="#cite_note-23">[23]</a> vor allem bei <a href="B%C3%B6rsenkrach" title="Börsenkrach">Börsenstürzen</a>.</li>

<li><a href="Liste_der_gr%C3%B6%C3%9Ften_St%C3%A4dte_der_Welt_(historisch)" title="Liste der größten Städte der Welt (historisch)">Einwohnerzahlen von Städten</a></li>

<li>In Internet-Foren sind die Längen der Kommentare log-normalverteilt,<a href="#cite_note-24">[24]</a> ebenso die Verweildauer bei Online-Artikeln wie Nachrichten oder Witzen.<a href="#cite_note-25">[25]</a></li>

<li>Die Dauer von <a href="Schach" title="Schach">Schachspielen</a> folgt einer Log-Normalverteilung.<a href="#cite_note-26">[26]</a></li></ul></li></ul>

<ul><li><a href="Technologie" title="Technologie">Technologie</a>

<ul><li>In der Modellierung der <a href="Zuverl%C3%A4ssigkeit_(Technik)" title="Zuverlässigkeit (Technik)">Zuverlässigkeit</a> werden Reparaturzeiten als log-normalverteilt beschrieben.<a href="#cite_note-27">[27]</a></li>

<li>Internet: Die <a href="Datenmenge" title="Datenmenge">Dateigröße</a> von öffentlich verfügbaren Audio- und Video-Dateien ist genähert log-normalverteilt.<a href="#cite_note-28">[28]</a> Analoges gilt für den Datenverkehr.<a href="#cite_note-29">[29]</a></li></ul></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><cite style="font-style:italic">Lognormal Distributions, Theory and Applications</cite> (= <cite style="font-style:italic">Statistics: Textbooks and Monographs</cite>. Band 88). Marcel Dekker, Inc., 1988, ISBN 978-0-8247-7803-3, S. xvi+387.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Logarithmische+Normalverteilung&rft.btitle=Lognormal+Distributions%2C+Theory+and+Applications&rft.date=1988&rft.genre=book&rft.isbn=9780824778033&rft.pages=xvi%2B387&rft.pub=Marcel+Dekker%2C+Inc.&rft.series=Statistics%3A+Textbooks+and+Monographs" style="display:none"> </li>

<li>j Aitchison, J A C Brown: <cite style="font-style:italic">The Lognormal Distribution</cite>. Cambridge University Press, 1957.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Logarithmische+Normalverteilung&rft.au=j+Aitchison%2C+J+A+C+Brown&rft.btitle=The+Lognormal+Distribution&rft.date=1957&rft.genre=book&rft.pub=Cambridge+University+Press" style="display:none"> </li>

<li>Eckhard Limpert, Werner A Stahel, Markus Abbt: <cite style="font-style:italic">Lognormal distributions across the sciences: keys and clues</cite>. In: <cite style="font-style:italic">BioScience</cite>. Band 51, Nr. 5, 2001, S. 341–352, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1641/0006-3568%282001%29051%5B0341%3ALNDATS%5D2.0.CO%3B2">10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://stat.ethz.ch/~stahel/lognormal/bioscience.pdf">PDF Online</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Logarithmische+Normalverteilung&rft.atitle=Lognormal+distributions+across+the+sciences%3A+keys+and+clues&rft.au=Eckhard+Limpert%2C+Werner+A+Stahel%2C+Markus+Abbt&rft.date=2001&rft.doi=10.1641%2F0006-3568%282001%29051%5B0341%3ALNDATS%5D2.0.CO%3B2&rft.genre=journal&rft.issue=5&rft.jtitle=BioScience&rft.pages=341-352&rft.volume=51" style="display:none"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> C. C. Heyde: <cite style="font-style:italic">On a property of the lognormal distribution</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Journal of the Royal Statistical Society, Series B</cite>. Band 25, Nr. 2, 1963, S. 392–393.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Logarithmische+Normalverteilung&rft.atitle=On+a+property+of+the+lognormal+distribution&rft.au=C.+C.+Heyde&rft.date=1963&rft.genre=journal&rft.issue=2&rft.jtitle=Journal+of+the+Royal+Statistical+Society%2C+Series+B&rft.pages=392-393&rft.volume=25" style="display:none">

</li>

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F Black, M Scholes: <cite style="font-style:italic">The Pricing of Options and Corporate Liabilities</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Journal of Political Economy</cite>. Band 81, Nr. 3, 1973, S. 637, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1086/260062">10.1086/260062</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Logarithmische+Normalverteilung&rft.atitle=The+Pricing+of+Options+and+Corporate+Liabilities&rft.au=F+Black%2C+M+Scholes&rft.date=1973&rft.doi=10.1086%2F260062&rft.genre=journal&rft.issue=3&rft.jtitle=Journal+of+Political+Economy&rft.pages=637&rft.volume=81" style="display:none">

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Benoit Mandelbrot: <cite style="font-style:italic">The (mis-)Behaviour of Markets</cite>. Basic Books, 2004, ISBN 978-0-465-04355-2 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/?id=9w15j-Ka0vgC">Google Books</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Logarithmische+Normalverteilung&rft.au=Benoit+Mandelbrot&rft.btitle=The+%28mis-%29Behaviour+of+Markets&rft.date=2004&rft.genre=book&rft.isbn=9780465043552&rft.pub=Basic+Books" style="display:none">

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Sobkowicz Pawel et al.: <cite style="font-style:italic">Lognormal distributions of user post lengths in Internet discussions - a consequence of the Weber-Fechner law?</cite> In: <cite style="font-style:italic">EPJ Data Science</cite>. 2013.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Logarithmische+Normalverteilung&rft.atitle=Lognormal+distributions+of+user+post+lengths+in+Internet+discussions+-+a+consequence+of+the+Weber-Fechner+law%3F&rft.au=Sobkowicz+Pawel+et+al.&rft.btitle=EPJ+Data+Science&rft.date=2013&rft.genre=book" style="display:none">

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<li id="cite_note-25"><a href="#cite_ref-25">↑</a> Peifeng Yin, Ping Luo, Wang-Chien Luo, Min Wang: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Silence is also evidence: interpreting dwell time for recommendation from psychological perspective</cite>. ACM International Conference on KDD. 2013 (englisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20170510064118/http://mldm.ict.ac.cn/platform/pweb/academicDetail.htm?id=16">mldm.ict.ac.cn</a> (<a href="Webarchivierung#Begrifflichkeiten" title="Webarchivierung">Memento</a> des <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r250917974">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-position:center right!important;background-repeat:no-repeat!important}body.skin-minerva .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-image:url("./_mw_/OOjs_UI_icon_external-link-ltr-progressive.svg")!important;background-size:10px!important;padding-right:13px!important}body.skin-timeless .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a,body.skin-monobook .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-image:url("./_mw_/MediaWiki_external_link_icon.svg")!important;padding-right:13px!important}body.skin-vector .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-image:url("./_mw_/Link.ernal-small-ltr-progressive.svg")!important;background-size:0.857em!important;padding-right:1em!important}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><a class="external text" href="https://redirecter.toolforge.org/?url=http%3A%2F%2Fmldm.ict.ac.cn%2Fplatform%2Fpweb%2FacademicDetail.htm%3Fid%3D16">Originals</a> vom 10. Mai 2017 im <a href="Internet_Archive" title="Internet Archive">Internet Archive</a>) [abgerufen am 26. August 2019]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Logarithmische+Normalverteilung&rft.au=Peifeng%26%2332%3BYin%2C%26%2332%3BPing%26%2332%3BLuo%2C%26%2332%3BWang-Chien%26%2332%3BLuo%2C+...&rft.btitle=Silence+is+also+evidence%3A+interpreting+dwell+time+for+recommendation+from+psychological+perspective&rft.date=2013&rft.genre=book" style="display:none">

</li>

<a rel="nofollow" class="external text" href="https://chess.stackexchange.com/questions/2506/what-is-the-average-length-of-a-game-of-chess/4899#4899">What is the average length of a game of chess?</a> In: chess.stackexchange.com. Abgerufen am 14. April 2018 (englisch).<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ALogarithmische+Normalverteilung&rft.title=What+is+the+average+length+of+a+game+of+chess%3F&rft.description=What+is+the+average+length+of+a+game+of+chess%3F&rft.identifier=&rft.date=&rft.language=en">

</li>

Patrick O'Connor, Andre Kleyner: <cite style="font-style:italic">Practical Reliability Engineering</cite>. John Wiley & Sons, 2011, ISBN 978-0-470-97982-2, S. 35.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Logarithmische+Normalverteilung&rft.au=Patrick+O%27Connor%2C+Andre+Kleyner&rft.btitle=Practical+Reliability+Engineering&rft.date=2011&rft.genre=book&rft.isbn=9780470979822&rft.pages=35&rft.pub=John+Wiley+%26+Sons" style="display:none">

</li>

C Gros, G. Kaczor, D Markovic: <cite style="font-style:italic">Neuropsychological constraints to human data production on a global scale</cite>. In: <cite style="font-style:italic">The European Physical Journal B</cite>. Band 85, Nr. 28, 2012, S. 28, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1140/epjb%2Fe2011-20581-3">10.1140/epjb/e2011-20581-3</a>, <a href="ArXiv" title="ArXiv">arxiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/1111.6849">1111.6849</a>, <a href="Bibcode" title="Bibcode">bibcode</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2012EPJB...85...28G">2012EPJB...85...28G</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Logarithmische+Normalverteilung&rft.atitle=Neuropsychological+constraints+to+human+data+production+on+a+global+scale&rft.au=C+Gros%2C+G.+Kaczor%2C+D+Markovic&rft.date=2012&rft.doi=10.1140%2Fepjb%2Fe2011-20581-3&rft.genre=journal&rft.issue=28&rft.jtitle=The+European+Physical+Journal+B&rft.pages=28&rft.volume=85" style="display:none">

</li>

Mohammed Alamsar: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/pdf/1902.03853">On the Distribution of Traffic Volumes in the Internet and its Implications.</a> 2019; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch).<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ALogarithmische+Normalverteilung&rft.title=On+the+Distribution+of+Traffic+Volumes+in+the+Internet+and+its+Implications&rft.description=On+the+Distribution+of+Traffic+Volumes+in+the+Internet+and+its+Implications&rft.identifier=&rft.creator=Mohammed%26%2332%3BAlamsar&rft.date=2019&rft.language=en">

</li>

</ol>

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output div.BoxenVerschmelzen{border-width:1px;border-style:solid;border-left-color:var(--dewiki-rahmenfarbe1);border-right-color:var(--dewiki-rahmenfarbe1);border-top-color:var(--dewiki-rahmenfarbe1);border-bottom-color:var(--dewiki-rahmenfarbe1);clear:both;font-size:95%;margin-top:1.5em;padding-top:2px}.mw-parser-output div.BoxenVerschmelzen div.NavFrame,.mw-parser-output div.BoxenVerschmelzen div.klappleiste{border:none;font-size:100%;margin:0;padding-top:0}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><div class="BoxenVerschmelzen">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

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/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style>

<div class="klappleiste-kopf">Diskrete univariate Verteilungen</div>

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:

<a href="Benfordsches_Gesetz" title="Benfordsches Gesetz">Benford</a> |

<a href="Bernoulli-Verteilung" title="Bernoulli-Verteilung">Bernoulli</a> |

<a href="Beta-Binomialverteilung" title="Beta-Binomialverteilung">beta-binomial</a> |

<a href="Binomialverteilung" title="Binomialverteilung">binomial</a> |

<a href="Dirac-Verteilung" title="Dirac-Verteilung">Dirac</a> |

<a href="Diskrete_Gleichverteilung" title="Diskrete Gleichverteilung">diskret uniform</a> |

<a href="Empirische_Verteilung_(Wahrscheinlichkeitsverteilung)" title="Empirische Verteilung (Wahrscheinlichkeitsverteilung)">empirisch</a> |

<a href="Hypergeometrische_Verteilung" title="Hypergeometrische Verteilung">hypergeometrisch</a> |

kategorial |

<a href="Negative_hypergeometrische_Verteilung" title="Negative hypergeometrische Verteilung">negativ hypergeometrisch</a> |

<a href="Rademacherverteilung" title="Rademacherverteilung">Rademacher</a> |

<a href="Verallgemeinerte_Binomialverteilung" title="Verallgemeinerte Binomialverteilung">verallgemeinert binomial</a> |

<a href="Zipfsches_Gesetz" title="Zipfsches Gesetz">Zipf</a> |

Zipf-Mandelbrot |

<a href="Zweipunktverteilung" title="Zweipunktverteilung">Zweipunkt</a>

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:

<a href="Boltzmann-Statistik" title="Boltzmann-Statistik">Boltzmann</a> |

Conway-Maxwell-Poisson |

discrete-Phase-Type |

erweitert negativ binomial |

Gauss-Kuzmin |

<a href="Gemischte_Poisson-Verteilung" title="Gemischte Poisson-Verteilung">gemischt Poisson</a> |

<a href="Geometrische_Verteilung" title="Geometrische Verteilung">geometrisch</a> |

<a href="Logarithmische_Verteilung" title="Logarithmische Verteilung">logarithmisch</a> |

<a href="Negative_Binomialverteilung" title="Negative Binomialverteilung">negativ binomial</a> |

parabolisch-fraktal |

<a href="Poisson-Verteilung" title="Poisson-Verteilung">Poisson</a> |

Skellam |

<a href="Verallgemeinerte_Poisson-Verteilung" title="Verallgemeinerte Poisson-Verteilung">verallgemeinert Poisson</a> |

Yule-Simon |

</div></div>

<div class="klappleiste-kopf">Kontinuierliche univariate Verteilungen</div>

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:

<a href="Betaverteilung" class="mw-redirect" title="Betaverteilung">Beta</a> |

<a href="Cantor-Verteilung" title="Cantor-Verteilung">Cantor</a> |

Kumaraswamy |

raised Cosine |

<a href="Dreiecksverteilung" title="Dreiecksverteilung">Dreieck</a> |

<a href="Trapezverteilung" title="Trapezverteilung">Trapez</a> |

U-quadratisch |

<a href="Stetige_Gleichverteilung" title="Stetige Gleichverteilung">stetig uniform</a> |

Wigner-Halbkreis

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:

<a href="Beta-prime-Verteilung" class="mw-redirect" title="Beta-prime-Verteilung">Beta prime</a> |

<a href="Bose-Einstein-Statistik" title="Bose-Einstein-Statistik">Bose-Einstein</a> |

Burr |

<a href="Chi-Verteilung" title="Chi-Verteilung">Chi</a> |

<a href="Chi-Quadrat-Verteilung" title="Chi-Quadrat-Verteilung">Chi-Quadrat</a> |

Coxian |

<a href="Erlang-Verteilung" title="Erlang-Verteilung">Erlang</a> |

<a href="Exponentialverteilung" title="Exponentialverteilung">Exponential</a> |

<a href="Extremwertverteilung" title="Extremwertverteilung">Extremwert</a> |

<a href="F-Verteilung" title="F-Verteilung">F</a> |

<a href="Fermi-Dirac-Statistik" title="Fermi-Dirac-Statistik">Fermi-Dirac</a> |

Folded normal |

<a href="Fr%C3%A9chet-Verteilung" title="Fréchet-Verteilung">Fréchet</a> |

<a href="Gammaverteilung" title="Gammaverteilung">Gamma</a> |

<a href="Gamma-Gamma-Verteilung" title="Gamma-Gamma-Verteilung">Gamma-Gamma</a> |

verallgemeinert invers Gauß |

halblogistisch |

halbnormal |

<a href="Hartman-Watson-Verteilung" title="Hartman-Watson-Verteilung">Hartman-Watson</a> |

<a href="Hotellings_T-Quadrat-Verteilung" class="mw-redirect" title="Hotellings T-Quadrat-Verteilung">Hotellings T-Quadrat</a> |

<a href="Hyper-exponentiale_Verteilung" class="mw-redirect" title="Hyper-exponentiale Verteilung">hyper-exponentiale</a> |

hypoexponential |

invers Chi-Quadrat |

scale-invers Chi-Quadrat |

<a href="Inverse_Normalverteilung" title="Inverse Normalverteilung">Invers Normal</a> |

Invers Gamma |

<a href="Kolmogorow-Verteilung" title="Kolmogorow-Verteilung">Kolmogorow-Verteilung</a> |

<a href="L%C3%A9vy-Verteilung" title="Lévy-Verteilung">Lévy</a> |

<a class="mw-selflink selflink">log-normal</a> |

log-logistisch |

<a href="Maxwell-Boltzmann-Verteilung" title="Maxwell-Boltzmann-Verteilung">Maxwell-Boltzmann</a> |

Maxwell-Speed |

Nakagami |

<a href="Nichtzentrierte_Chi-Quadrat-Verteilung" class="mw-redirect" title="Nichtzentrierte Chi-Quadrat-Verteilung">nichtzentriert Chi-Quadrat</a> |

<a href="Pareto-Verteilung" title="Pareto-Verteilung">Pareto</a> |

Phase-Type |

<a href="Rayleigh-Verteilung" title="Rayleigh-Verteilung">Rayleigh</a> |

relativistisch Breit-Wigner |

Rice |

<a href="Rosin-Rammler-Verteilung" class="mw-redirect" title="Rosin-Rammler-Verteilung">Rosin-Rammler</a> |

shifted Gompertz |

truncated normal |

Type-2-Gumbel |

<a href="Weibull-Verteilung" title="Weibull-Verteilung">Weibull</a> |

Wilks’ Lambda

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:

<a href="Cauchy-Verteilung" title="Cauchy-Verteilung">Cauchy</a> |

<a href="Extremwertverteilung" title="Extremwertverteilung">Extremwert</a> |

exponential Power |

<a href="Fishers_z-Verteilung" class="mw-redirect" title="Fishers z-Verteilung">Fishers z</a> |

<a href="Gumbel-Verteilung" title="Gumbel-Verteilung">Fisher-Tippett (Gumbel)</a> |

generalized hyperbolic |

Hyperbolic-secant |

<a href="Landauverteilung" title="Landauverteilung">Landau</a> |

<a href="Laplace-Verteilung" title="Laplace-Verteilung">Laplace</a> |

<a href="Alpha-stabile_Verteilungen" title="Alpha-stabile Verteilungen">alpha-stabil</a> |

<a href="Logistische_Verteilung" title="Logistische Verteilung">logistisch</a> |

<a href="Normalverteilung" title="Normalverteilung">normal (Gauß)</a> |

normal-invers Gauß’sch |

Skew-normal |

<a href="Studentsche_t-Verteilung" title="Studentsche t-Verteilung">Studentsche t</a> |

Type-1-Gumbel |

Variance-Gamma |

<a href="Voigt-Profil" title="Voigt-Profil">Voigt</a>

</div></div>

<div class="klappleiste-kopf">Multivariate Verteilungen</div>

Diskrete multivariate Verteilungen:

Dirichlet compound multinomial |

Ewens |

gemischt Multinomial |

<a href="Multinomialverteilung" title="Multinomialverteilung">multinomial</a> |

<a href="Multivariate_hypergeometrische_Verteilung" class="mw-redirect" title="Multivariate hypergeometrische Verteilung">multivariat hypergeometrisch</a> |

multivariat Poisson |

negativmultinomial |

Pólya/Eggenberger |

<a href="Polyhypergeometrische_Verteilung" class="mw-redirect" title="Polyhypergeometrische Verteilung">polyhypergeometrisch</a>

Kontinuierliche multivariate Verteilungen:

<a href="Dirichlet-Verteilung" title="Dirichlet-Verteilung">Dirichlet</a> |

GEM |

generalized Dirichlet |

<a href="Mehrdimensionale_Normalverteilung" title="Mehrdimensionale Normalverteilung">multivariat normal</a> |

multivariat Student |

normalskaliert invers Gamma |

Normal-Gamma |

Poisson-Dirichlet

Multivariate Matrixverteilungen:

<a href="Gleichverteilung_auf_der_Stiefel-Mannigfaltigkeit" title="Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit">Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit</a> |

Invers Wishart |

Matrix Beta |

Matrix Gamma |

Matrix invers Beta |

Matrix invers Gamma |

Matrix Normal |

Matrix Student-t |

<a href="Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung" title="Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung">Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung</a> |

Normal-invers-Wishart |

Normal-Wishart |

<a href="Wishart-Verteilung" title="Wishart-Verteilung">Wishart</a>

</div></div>

</div></div><div><div class="zim-footer">

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